Формула Ньютона–Лейбница
Формула Ньютона–Лейбница связывает определённый интеграл с первообразной функции: $F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) dx$, где $F(x)$ — любая первообразная функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$.
Формула Ньютона–Лейбница простыми словами
Определённый интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ равен разности значений любой первообразной функции $F(x)$ в точках $b$ и $a$.
Свойство линейности интеграла 1
Определённый интеграл от константы на отрезке равен произведению этой константы на длину отрезка. Например, $\int_{a}^{b} c dx = c(b - a)$.
Свойство аддитивности интеграла 1
Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям. Например, $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$.
Свойство аддитивности интеграла 2
Если отрезок интегрирования разбит на части, и функция на всех частях неотрицательна, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям. Например, $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$, где $f(x) \geq 0$ на $[a, b]$ и $[b, c]$.
Свойство неотрицательности интеграла 1
Если функция неотрицательна на отрезке, то определённый интеграл от этой функции неотрицателен. Например, если $f(x) \geq 0$ на $[a, b]$, то $\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$.