- Формула Ньютона–Лейбница
- Формула Ньютона–Лейбница связывает определённый интеграл с первообразной функции: $F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) dx$, где $F(x)$ — любая первообразная функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$.
- Формула Ньютона–Лейбница простыми словами
- Определённый интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ равен разности значений любой первообразной функции $F(x)$ в точках $b$ и $a$.
- Свойство линейности интеграла 1
- Определённый интеграл от константы на отрезке равен произведению этой константы на длину отрезка. Например, $\int_{a}^{b} c dx = c(b - a)$.
- Свойство аддитивности интеграла 1
- Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям. Например, $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$.
- Свойство аддитивности интеграла 2
- Если отрезок интегрирования разбит на части, и функция на всех частях неотрицательна, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям. Например, $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$, где $f(x) \geq 0$ на $[a, b]$ и $[b, c]$.
- Свойство неотрицательности интеграла 1
- Если функция неотрицательна на отрезке, то определённый интеграл от этой функции неотрицателен. Например, если $f(x) \geq 0$ на $[a, b]$, то $\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$.
- Свойство неотрицательности интеграла 2
- Если функция на отрезке принимает значения больше нуля, то определённый интеграл от этой функции больше нуля. Например, если $f(x) > 0$ на $[a, b]$, то $\int_{a}^{b} f(x) dx > 0$.
- Свойство существования интеграла 1
- Если функция на отрезке ограничена и непрерывна, то её определённый интеграл существует. Например, если $f(x)$ ограничена и непрерывна на $[a, b]$, то $\int_{a}^{b} f(x) dx$ существует.
- Свойство существования интеграла 2