Комбинаторика

Комбинаторика изучает способы подсчёта различных комбинаций объектов. Объекты могут быть упорядоченными или неупорядоченными, различающимися или неразличимыми.

Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов. Количество перестановок из n элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле:

$$P_n = n!$$

где $n!$ — факториал числа n, т.е. произведение всех целых чисел от 1 до n включительно.

Размещением из n по k называется упорядоченная выборка k элементов из множества n элементов. Обозначается как $A_{n,k}$ и рассчитывается формулой:

$$A_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$$

Сочетанием из n по k называется неупорядоченная выборка k элементов из множества n элементов. Обозначается как $C_{n,k}$ и определяется формулой:

$$C_{n,k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Правило суммы гласит: если объект может быть выбран одним из нескольких способов, то общее количество способов выбрать его равно сумме количества способов выбора каждого отдельного способа.

Правило произведения утверждает: если объект можно выбрать несколькими последовательными способами, то общее число возможных выборов равно произведению числа способов выбора каждого отдельного шага.

Решение: Это задача на размещения с повторениями. Используем формулу $A_{n,k}$, где $n=3$ (цифры), $k=3$ (разряды). Получаем:

$$A_{3,3} = \frac{3!}{(3-3)!} = 3^3 = 27$$

Решение: Используем сочетания $C_{52,5}$:

$$C_{52,5} = \frac{52!}{5!(52-5)!} = 2\,598\,960$$

размещениясочетанияперестановки факториалправило_суммыправило_произведения {{A_{n,k}|C_{n,k}}} комбинацияправило_суммыфакториал