Определённый интеграл и формула Ньютона–Лейбница

Определённый интеграл функции $f(x)$ от $a$ до $b$ обозначается как $\int_{a}^{b} f(x) dx$. Он представляет собой площадь под графиком функции $f(x)$ между точками $x=a$ и $x=b$.

Формула Ньютона-Лейбницаформула Рунге-Куттаформула Тейлора связывает определённый интеграл с первообразной функции следующим образом:

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a),$$

где $F(x)$ – любая первообразная функции $f(x)$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$ и вычислим её определённый интеграл от 0 до 1:

$$\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}.$$

При использовании формулы Ньютона-Лейбница важно помнить следующие моменты:

Первообразной функцией называется такая функция, производная которой равна исходной функции.

Определённый интеграл отличается от неопределённого тем, что он имеет фиксированные границы интегрирования.

Изучение определённого интеграла и формулы Ньютона-Лейбница является важным этапом в математическом анализе, так как позволяет решать задачи нахождения площадей фигур, объёмов тел вращения и других прикладных задач.