Определённый интеграл и формула Ньютона–Лейбница

dlyachainikov.ru · Математический анализ

Определение определённого интеграла

Определённый интеграл функции $f(x)$ от $a$ до $b$ обозначается как $\int_{a}^{b} f(x) dx$ . Он представляет собой площадь под графиком функции $f(x)$ между точками $x=a$ и $x=b$ .

Формула Ньютона-Лейбница связывает определённый интеграл с первообразной функции следующим образом:
$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a),$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$ и вычислим её определённый интеграл от 0 до 1:
$\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}.$

Найти определённый интеграл функции $f(x) = e^x$ от 0 до 1: $\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_0^{1} = e^1 - e^0 = e - 1.$

Определение определённого интеграла

Определённый интеграл функции

f(x)

от

a

до

b

обозначается как

\int_{a}^{b} f(x) dx

. Он представляет собой площадь под графиком функции

f(x)

между точками

x=a

x=b

Пример вычисления определённого интеграла

Рассмотрим функцию

f(x) = x^2

и вычислим её определённый интеграл от 0 до 1:

\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}.