- определённый интеграл
- Определённый интеграл функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ — это предел интегральной суммы при стремлении разбиения отрезка к нулю.
- формула Ньютона–Лейбница
- Формула Ньютона–Лейбница связывает определённый интеграл с первообразной функции: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$.
- первообразная функция
- Первообразной функции $f(x)$ называется функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.
- существование первообразной
- Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то существует хотя бы одна первообразная функция $F(x)$ на этом отрезке.
- существование определённого интеграла
- Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то определённый интеграл от $f(x)$ на этом отрезке существует и равен разности значений любой первообразной функции на концах отрезка.
- производная определённого интеграла
- Если $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$, то производная от определённого интеграла $\int_{a}^{x} f(t) dt$ равна $f(x)$, то есть $(\int_{a}^{x} f(t) dt)' = f(x)$.
- геометрический смысл определённого интеграла
- Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то определённый интеграл от $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$.
- площадь фигуры под графиком неотрицательной функции
- Если функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[a, b]$, то определённый интеграл $\int_{a}^{b} f(x) dx$ равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$.
- площадь фигуры под графиком отрицательной функции
- Если функция $f(x)$ отрицательна на отрезке $[a, b]$, то определённый интеграл $\int_{a}^{b} f(x) dx$ равен площади фигуры, взятой с отрицательным знаком, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$.