Комплексные числа

Действительная частьАргумент комплексного числаКомплексное число — это число вида $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$). Здесь $a$ называется действительной частью комплексного числа ($\operatorname{Re}(z) = a$), а $b$ — его мнимой частью ($\operatorname{Im}(z) = b$).

$z = 3 + 4i$

$$(z_1 \pm z_2) = (a_1 \pm a_2) + i(b_1 \pm b_2)$$

$$z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = (a_1a_2 - b_1b_2) + i(a_1b_2 + a_2b_1)$$

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)} = \frac{(a_1a_2 + b_1b_2) + i(a_2b_1 - a_1b_2)}{a_2^2 + b_2^2}$$

Модулем комплексного числа $z = a + bi$ называется величина $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Аргументом комплексного числа $z = a + bi$ называют угол $\theta$ между положительным направлением оси абсцисс и лучом, соединяющим начало координат и точку $(a, b)$. Обозначается как $\arg(z)$.

На комплексной плоскости каждое комплексное число представляется точкой или вектором. Действительная часть откладывается вдоль оси абсцисс, а мнимая — вдоль оси ординат.

Формула Эйлера связывает экспоненту и тригонометрические функции:

$$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$$

модульэкспонентааргумент