- комплексное число
- Комплексное число — это число вида $a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица, такая что $i^2 = -1$.
- модуль комплексного числа
- Модуль комплексного числа $z = a + bi$ определяется как $r = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $r$ — расстояние от точки $(a, b)$ до начала координат на комплексной плоскости.
- аргумент комплексного числа
- Аргумент комплексного числа $z = a + bi$ — это угол $\theta$ между положительной действительной осью и вектором, представляющим число на комплексной плоскости. Аргумент определяется с точностью до $2\pi$.
- сопряжённое комплексное число
- Сопряжённое комплексное число к $z = a + bi$ — это число $z^* = a - bi$. Оно отражает исходное число относительно действительной оси на комплексной плоскости.
- сумма комплексных чисел
- Сумма комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ определяется как $z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$. Сумма — это векторное сложение на комплексной плоскости.
- произведение комплексных чисел
- Произведение комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ определяется как $z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$. Это аналогично умножению векторов на комплексной плоскости.
- тригонометрическая форма комплексного числа
- Комплексное число $z$ в тригонометрической форме записывается как $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$, где $r$ — модуль, а $\theta$ — аргумент числа. Это удобно для умножения и деления комплексных чисел.
- формула Муавра
- Формула Муавра: $(r(\cos \theta + i \sin \theta))^n = r^n(\cos n\theta + i \sin n\theta)$. Используется для возведения комплексных чисел в степень. Например, $(1 + i)^4 = \sqrt{2}^4(\cos 4 \cdot 45^\circ + i \sin 4 \cdot 45^\circ) = 16(1 + i)$.
- корень $n$-й степени из комплексного числа
- Корень $n$-й степени из комплексного числа $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ определяется как $z^{1/n} = r^{1/n}(\cos(\theta + 2k\pi)/n + i \sin(\theta + 2k\pi)/n)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$. Это даёт $n$ различных корней. Например, $\sqrt[3]{1} = 1, \omega, \omega^2$, где $\omega = -1/2 + i\sqrt{3}/2$.
- показательная форма комплексного числа
- Комплексное число $z$ в показательной форме записывается как $z = re^{i\theta}$, где $r$ — модуль, а $\theta$ — аргумент числа. Это удобно для умножения и деления комплексных чисел. Например, $2e^{i\pi/3} \cdot 3e^{i\pi/6} = 6e^{i\pi/2} = 6i$.
- алгебраическая форма комплексного числа
- Комплексное число $z$ в алгебраической форме записывается как $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа. Это основная форма записи комплексных чисел. Например, $3 + 4i$.
- полярная форма комплексного числа
- Комплексное число $z$ в полярной форме записывается как $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$, где $r$ — модуль, а $\theta$ — аргумент числа. Это удобная форма для вычислений с аргументами. Например, $2(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)$.