Комплексные числа

dlyachainikov.ru · Линейная алгебра и теория матриц

Определение комплексных чисел

Комплексное число — это число вида $z = a + bi$ , где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ( $i^2 = -1$ ). Здесь $a$ называется действительной частью комплексного числа ( $\operatorname{Re}(z) = a$ ), а $b$ — его мнимой частью ( $\operatorname{Im}(z) = b$ ).

$z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = (a_1a_2 - b_1b_2) + i(a_1b_2 + a_2b_1)$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)} = \frac{(a_1a_2 + b_1b_2) + i(a_2b_1 - a_1b_2)}{a_2^2 + b_2^2}$

Модулем комплексного числа $z = a + bi$ называется величина $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Аргументом комплексного числа $z = a + bi$ называют угол $\theta$ между положительным направлением оси абсцисс и лучом, соединяющим начало координат и точку $(a, b)$ . Обозначается как $\arg(z)$

Определение комплексных чисел

Комплексное число — это число вида

z = a + bi

, где

a

b

— действительные числа, а

i

— мнимая единица (

i^2 = -1

). Здесь

a

называется действительной частью комплексного числа (

\operatorname{Re}(z) = a

), а

b

— его мнимой частью (

\operatorname{Im}(z) = b

Деление

\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)} = \frac{(a_1a_2 + b_1b_2) + i(a_2b_1 - a_1b_2)}{a_2^2 + b_2^2}

Аргумент комплексного числа

Аргументом комплексного числа

z = a + bi

называют угол

\theta

между положительным направлением оси абсцисс и лучом, соединяющим начало координат и точку

(a, b)

. Обозначается как

\arg(z)