Линейные пространства и базис — Линейная алгебра и теория матриц

Линейное пространство

Линейное пространство — это множество элементов (векторов), удовлетворяющее следующим условиям:

Замкнутость относительно сложения: если $\vec{a}, \vec{b} \in V$ , то $\vec{a}+\vec{b} \in V$
Наличие нулевого вектора: существует такой вектор $\vec{0}$ , что $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
Наличие противоположного вектора: для любого $\vec{a}$ существует $\vec{-a}$ , при этом $\vec{a} + \vec{-a} = \vec{0}$
Коммутативность сложения: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
Ассоциативность сложения: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
Замкнутость относительно умножения на число: если $\alpha$ — скаляр, $\vec{v} \in V$ , то $\alpha\vec{v} \in V$
Распределительный закон: $(\alpha+\beta)\vec{v}=\alpha\vec{v}+\beta\vec{v}$
Дистрибутивный закон: $\alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}$
Единичность умножения: $1\cdot\vec{v} = \vec{v}$

Базис линейного пространства

Базисом называется упорядоченная система векторов, обладающая следующими свойствами:

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ: любые два вектора из системы линейно независимы
ПОЛНОТА: любой вектор пространства может быть представлен как линейная комбинация этих векторов

Размерность линейного пространства

Размерностью линейного пространства называют количество векторов в его базисе. Если базис состоит из $n$ векторов, говорят, что размерность равна $n$ .

Координатное представление вектора

Любой вектор можно представить через координаты в базисе:

$\vec{x} = x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}_2 + ... + x_n\vec{e}_n$

где $\vec{e}_i$ — базисные векторы.

Переход от одного базиса к другому

Если заданы два базиса $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, ..., \vec{e}_n\}$ и $\{\vec{f}_1, \vec{f}_2, ..., \vec{f}_n\}$ , то переход осуществляется с помощью матрицы перехода $P$ . Вектор $\vec{x}$ в новом базисе выражается так:

$\vec{x}' = P\vec{x}$

Примеры задач

Пример 1

Даны векторы $\vec{e}_1 = (1, 0)$ , $\vec{e}_2 = (0, 1)$ и $\vec{f}_1 = (1, 1)$ , $\vec{f}_2 = (-1, 1)$ . Найти матрицу перехода от базиса $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2\}$ к базису $\{\vec{f}_1, \vec{f}_2\}$ .

Решение

Матрица перехода вычисляется как:

$P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Пример 2

Найти координаты вектора $\vec{x} = (3, 2)$ в базисе $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2\}$ , где $\vec{e}_1 = (1, 0)$ , $\vec{e}_2 = (0, 1)$ .

Решение

Координаты вектора совпадают с его компонентами, поэтому $\vec{x} = (3, 2)$ .

Линейное пространство

Линейное пространство — это множество элементов (векторов), удовлетворяющее следующим условиям:

Замкнутость относительно сложения: если $\vec{a}, \vec{b} \in V$ , то $\vec{a}+\vec{b} \in V$
Наличие нулевого вектора: существует такой вектор $\vec{0}$ , что $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
Наличие противоположного вектора: для любого $\vec{a}$ существует $\vec{-a}$ , при этом $\vec{a} + \vec{-a} = \vec{0}$
Коммутативность сложения: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
Ассоциативность сложения: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
Замкнутость относительно умножения на число: если $\alpha$ — скаляр, $\vec{v} \in V$ , то $\alpha\vec{v} \in V$
Распределительный закон: $(\alpha+\beta)\vec{v}=\alpha\vec{v}+\beta\vec{v}$
Дистрибутивный закон: $\alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}$
Единичность умножения: $1\cdot\vec{v} = \vec{v}$

Базис линейного пространства

Базисом называется упорядоченная система векторов, обладающая следующими свойствами:

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ: любые два вектора из системы линейно независимы
ПОЛНОТА: любой вектор пространства может быть представлен как линейная комбинация этих векторов

Размерность линейного пространства

Координатное представление вектора

Любой вектор можно представить через координаты в базисе:

$\vec{x} = x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}_2 + ... + x_n\vec{e}_n$

где $\vec{e}_i$ — базисные векторы.

Переход от одного базиса к другому

$\vec{x}' = P\vec{x}$

Примеры задач

Пример 1

Решение

Матрица перехода вычисляется как:

$P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Пример 2

Найти координаты вектора $\vec{x} = (3, 2)$ в базисе $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2\}$ , где $\vec{e}_1 = (1, 0)$ , $\vec{e}_2 = (0, 1)$ .

Решение

Координаты вектора совпадают с его компонентами, поэтому $\vec{x} = (3, 2)$ .