- Линейное пространство
- Множество векторов, в котором любые два вектора можно сложить, а результат умножить на число, при этом выполняются аксиомы линейного пространства
- Базис линейного пространства
- Набор векторов, каждый из которых можно получить как линейную комбинацию базисных векторов
- Базисный набор векторов
- Минимальный набор линейно независимых векторов, из которых можно составить любой другой вектор данного пространства
- Единственность представления вектора в базисе
- Любой вектор линейного пространства можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов единственным образом
- Размерность линейного пространства
- Количество векторов в базисе линейного пространства называется размерностью этого пространства
- Линейно зависимые векторы
- Векторы, сумма которых равна нулевому вектору, и каждый из которых можно выразить через остальные с помощью отрицательных коэффициентов
- Линейно независимые векторы
- Векторы, сумма которых не равна нулевому вектору, и ни один из которых нельзя выразить через остальные с помощью коэффициентов
- Координаты вектора в базисе
- Любой вектор линейного пространства можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, при этом коэффициенты этой комбинации называются координатами вектора в данном базисе
- Матрица перехода между базисами
- Матрица, столбцы которой являются базисными векторами линейного пространства, называется матрицей перехода от одного базиса к другому
- Эквивалентные базисы
- Если матрица перехода между базисами невырожденная, то базисы называются эквивалентными, и векторы одного базиса можно выразить через векторы другого базиса однозначно
- Базисные векторы и размерность линейного пространства
- Векторы, образующие базис, называются базисными векторами, а их количество — размерностью пространства
- Базисные векторы и размерность пространства
- Векторы, которые не могут быть выражены через другие векторы базиса, называются базисными, и их количество равно размерности пространства
- Линейная зависимость и независимость векторов
- Если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них можно выразить через остальные векторы базиса с помощью коэффициентов, и хотя бы один из векторов базиса можно выразить через остальные векторы с помощью отрицательных коэффициентов. Если векторы линейно независимы, то это невозможно.