Системы линейных уравнений: методы Гаусса и Крамера, матричный метод

Система линейных уравнений – это набор уравнений вида:

$$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m$$

где $x_i$ – неизвестные переменные, $a_{ij}$ – коэффициенты системы, $b_i$ – свободные члены.

Метод заключается в приведении расширенной матрицы системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

$$A \cdot X = B$$

где $A$ – матрица коэффициентов, $B$ – столбец свободных членов, $X$ – искомый вектор решений.

Этот метод основан на использовании определителей матриц.

Пусть дана система из $n$ уравнений с $n$ неизвестными. Тогда решение можно найти по формулам Крамера:

$$x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}$$

где $\Delta$ – главный определитель системы, а $\Delta_i$ – определитель, полученный заменой $i$-го столбца матрицы $A$ на столбец свободных членов.

Решение системы линейных уравнений через обратную матрицу:

$$X = A^{-1} \cdot B$$

где $A^{-1}$ – обратная матрица к $A$.

Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} 2x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

Решение методом Гаусса:

Запишем матрицу системы:

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right]$$

Выполним преобразования:

$$R_2 \gets R_2 - \frac{1}{2}R_1$$

Получим:

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right]$$

Отсюда находим $y$ и затем $x$.

Ответ: $(x, y) = (1, 1)$.

Проверим правильность найденного решения подстановкой в исходную систему.