Обратная матрица

Обратной матрицей к квадратной матрице $A$ называется такая матрица $A^{-1}$, что выполняется равенство:

$$AA^{-1} = A^{-1}A = E,$$

где $E$ — единичная матрицаединичная функцияединичная система того же порядка, что и $A$.

Матрица $A$ имеет обратную тогда и только тогда, когда её детерминант матрицыдетерминант системыопределитель $\det(A)$ отличен от нуля:

$$\det(A) \neq 0.$$

Метод заключается в следующем:

$${{неверный1}} \quad AA^{-1} = E \quad {{\text{неправильно, так как должно быть }}} \quad A^{-1}A = E.$$

$$(A^{-1})^{-1} = A.$$

$$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.$$

Рассмотрим матрицу:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.$$

Составим расширенную матрицу:

$$\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right).$$

Выполним элементарные преобразования:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix}.$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Таким образом, обратная функцияобратная матрицаобратная система:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Проверим выполнение условия:

$$AA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$