Определители

Определитель — это числовая характеристика квадратной матрицы, обозначаемая как $|A|$ или $\det A$. Для матрицы размера $n \times n$ определитель вычисляется с помощью разложений по строкам или столбцам.

$$\det A = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13} - \dots$$

где $M_{ij}$ — алгебраическое дополнениематрицаминор элемента $a_{ij}$, получаемый вычеркиванием строки и столбца, содержащего элемент $a_{ij}$.

Для матрицы $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$,

$$\det A = ad - bc$$

Минором элемента $a_{ij}$ называется определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием строки и столбца, содержащих этот элемент. Алгебраическим дополнением $A_{ij}$ называется произведение минора и знака $(-1)^{i+j}$.

Разложение определителя по первой строке выглядит так:

$$\det A = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + \dots + a_{1n}A_{1n}$$

Рассмотрим матрицу $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$. Вычислим её определитель через разложение по первой строке:

$$\det A = 1 \cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}$$

Определители используются при решении систем линейных уравнений методом Крамера, а также в теории матриц для нахождения обратной матрицы и исследования линейных пространств. определительминорматрица