Определители

dlyachainikov.ru · Линейная алгебра и теория матриц

Определение определителя

Определитель — это числовая характеристика квадратной матрицы, обозначаемая как $|A|$ или $\det A$ . Для матрицы размера $n \times n$ определитель вычисляется с помощью разложений по строкам или столбцам.

Формула разложения по первой строке

$\det A = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13} - \dots$

Свойства определителей

Если все элементы некоторой строки (столбца) умножить на число $k$ , то определитель умножается на $k$ .

Вычисление определителя второго порядка

Для матрицы $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ,
$\det A = ad - bc$

Миноры и алгебраические дополнения

Минором элемента $a_{ij}$ называется определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием строки и столбца, содержащих этот элемент. Алгебраическим дополнением $A_{ij}$ называется произведение минора и знака $(-1)^{i+j}$

Разложение определителя по строке или столбцу

$\det A = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + \dots + a_{1n}A_{1n}$

Пример вычисления определителя третьего порядка

Рассмотрим матрицу $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

Применение определителей

Определители используются при решении систем линейных уравнений методом Крамера, а также в теории матриц для нахождения обратной матрицы и исследования линейных пространств. определитель

Определение определителя

Определитель — это числовая характеристика квадратной матрицы, обозначаемая как

|A|

или

\det A

. Для матрицы размера

n \times n

определитель вычисляется с помощью разложений по строкам или столбцам.

Миноры и алгебраические дополнения

Минором элемента

a_{ij}

называется определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием строки и столбца, содержащих этот элемент. Алгебраическим дополнением

A_{ij}

называется произведение минора и знака

(-1)^{i+j}

Применение определителей

Определители используются при решении систем линейных уравнений методом Крамера, а также в теории матриц для нахождения обратной матрицы и исследования линейных пространств. определитель