Матрицы и действия над ними

Матрица — это прямоугольная таблица чисел или выражений, записанная в виде:

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}$$

где $a_{ij}$ — элемент матрицы, расположенный на пересечении строки $i$ и столбца $j$.

Размерность матрицы обозначается как $m \times n$, где $m$ — количество строк, а $n$ — количество столбцов.

Сумма двух матриц одинакового размера определяется поэлементно:

$$A + B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & \dots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \dots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}$$

Вычитание аналогично сложению:

$$A - B = A + (-B)$$

Произведение матрицы на скаляр $\alpha$ получается умножением каждого элемента матрицы на этот скаляр:

$$\alpha A = \begin{pmatrix} \alpha a_{11} & \dots & \alpha a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha a_{m1} & \dots & \alpha a_{mn} \end{pmatrix}$$

Произведение матриц возможно, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы:

$$AB = \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} & \dots & \sum_{k=1}^{n} a_{in}b_{kn} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{k=1}^{n} a_{mk}b_{kj} & \dots & \sum_{k=1}^{n} a_{mn}b_{kn} \end{pmatrix}$$

Транспонированной матрицей называется матрица, полученная из исходной путем замены строк столбцами:

$$A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}$$