Матрицы и действия над ними

dlyachainikov.ru · Линейная алгебра и теория матриц

Определение матрицы

Матрица — это прямоугольная таблица чисел или выражений, записанная в виде:
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}$
где $a_{ij}$ — элемент матрицы, расположенный на пересечении строки $i$ и столбца $j$ .
Размерность матрицы обозначается как $m \times n$ , где $m$ — количество строк, а $n$ — количество столбцов.

$A + B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & \dots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \dots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}$

Произведение матрицы на скаляр $\alpha$ получается умножением каждого элемента матрицы на этот скаляр:
$\alpha A = \begin{pmatrix} \alpha a_{11} & \dots & \alpha a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha a_{m1} & \dots & \alpha a_{mn} \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} & \dots & \sum_{k=1}^{n} a_{in}b_{kn} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{k=1}^{n} a_{mk}b_{kj} & \dots & \sum_{k=1}^{n} a_{mn}b_{kn} \end{pmatrix}$

$A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}$

Определение матрицы

Матрица — это прямоугольная таблица чисел или выражений, записанная в виде:

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}

где

a_{ij}

— элемент матрицы, расположенный на пересечении строки

i

и столбца

j

Размерность матрицы обозначается как

m \times n

, где

m

— количество строк, а

n

— количество столбцов.

Умножение матрицы на число

Произведение матрицы на скаляр

\alpha

получается умножением каждого элемента матрицы на этот скаляр:

\alpha A = \begin{pmatrix} \alpha a_{11} & \dots & \alpha a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha a_{m1} & \dots & \alpha a_{mn} \end{pmatrix}

Произведение матриц

AB = \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} & \dots & \sum_{k=1}^{n} a_{in}b_{kn} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{k=1}^{n} a_{mk}b_{kj} & \dots & \sum_{k=1}^{n} a_{mn}b_{kn} \end{pmatrix}

Транспонирование матрицы

A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}