Динамика вращательного движения твёрдого тела

Вращательное движение твёрдого тела характеризуется следующими параметрами:

Момент инерции тела относительно оси вращения определяется как сумма произведений масс элементарных частей тела на квадраты их расстояний до оси вращения:

$$I = \sum m_i r_i^2$$

или в интегральной форме:

$$I = \int r^2 dm$$

Законы Ньютона применительно к вращательному движению формулируются следующим образом:

$$\frac{dL}{dt} = M_{\text{сумм}}$$

где $M_{\text{сумм}}$ – суммарный момент всех внешних сил.

Кинетическая энергия вращающегося тела вычисляется по формуле:

$$E_k = \frac{I\omega^2}{2}$$

Найти кинетическую энергию колеса массой $m=5\,кг$ и радиусом $R=0.2\,м$, вращающегося с угловой скоростью $\omega=10\,рад/с$. Колесо имеет форму однородного диска, его момент инерции равен $I=\frac{mR^2}{2}$.

кинетическая_энергияугловой момент импульсаРешение:

$$E_k = \frac{\frac{mR^2}{2}\cdot\omega^2}{2} = \frac{5\cdot(0.2)^2\cdot10^2}{4} = 5\,Дж$$

Определить момент инерции однородной сферы радиуса $R$ относительно оси, проходящей через её центр.

Решение:

$$I = \frac{2}{5}mR^2$$