Числовые ряды

Числовым рядом называется бесконечная сумма вида

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots$$

где $a_n$ – члены ряда.

Если предел отношения последующего члена к предыдущему существует и меньше единицы,

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1,$$

то ряд сходится абсолютно.

Если предел корня n-й степени из модуля члена ряда стремится к числу меньшему единицы,

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} < 1,$$

то ряд сходится абсолютно.

Если ряд $\sum b_n$ уже исследован и известен его характер (сходится или расходится), то ряд $\sum a_n$ сходится при условии, что $|a_n|\leq |b_n|$ для всех достаточно больших $n$.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей его членов:

$$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$$

Если ряд сходится, но не является абсолютно сходящимся, он называется условно сходящимся.

Рассмотрим ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$$

Этот ряд условно сходится, так как ряд из модулей

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$

является сходящимся (ряд Лейбница).

Ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n}$$

условно сходится, поскольку ряд из модулей

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin(n)}{n}\right|$$

расходится.