- Числовой ряд
- Сумма бесконечного числа членов последовательности называется числовым рядом. Если предел частичной суммы существует, ряд называется сходящимся, иначе — расходящимся.
- Абсолютно сходящийся ряд
- Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов. Абсолютно сходящиеся ряды всегда сходятся.
- Признак сравнения рядов
- Признак сравнения утверждает, что если $0 \leq a_n \leq b_n$ для всех $n$ и ряд $\sum b_n$ сходится, то ряд $\sum a_n$ также сходится. Если же $\sum a_n$ расходится, то и $\sum b_n$ расходится.
- Признак Даламбера
- Признак Даламбера утверждает, что если $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l$, то ряд $\sum a_n$ сходится при $l < 1$ и расходится при $l > 1$. При $l = 1$ признак не применим.
- Признак Коши рядов
- Признак Коши утверждает, что если $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = l$, то ряд $\sum a_n$ сходится при $l < 1$ и расходится при $l > 1$. При $l = 1$ признак не применим.
- Знакочередующийся ряд
- Знакочередующийся ряд сходится, если его частичные суммы монотонно стремятся к пределу и этот предел существует. Сумма ряда равна пределу частичных сумм.
- Частичная сумма числового ряда
- Сумма первых $n$ членов ряда называется $n$-й частичной суммой. Если существует $\lim_{n\to\infty} s_n$, ряд сходится, иначе — расходится.
- Признак лимита нуля рядов
- Если ряд $\sum a_n$ сходится и $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$, то ряд расходится. Если $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, признак не применим.
- Свойство монотонности числовых рядов
- Если ряд $\sum a_n$ и $\sum b_n$ сходятся и $a_n \leq b_n$ для всех $n$, то $\sum a_n \leq \sum b_n$. Если же $\sum a_n$ расходится, то и $\sum b_n$ расходится.
- Свойство неотрицательности числовых рядов
- Если ряд $\sum a_n$ сходится и $a_n \geq 0$ для всех $n$, то ряд сходится абсолютно. Если же ряд расходится, то и ряд из модулей расходится.
- Признак сходимости рядов по общему члену
- Если ряд $\sum a_n$ сходится, то его общий член стремится к нулю. Если же $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$, ряд расходится.
- Суммы арифметической и геометрической прогрессий
- Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии равна $\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$. Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии равна $\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$, если $|q| < 1$. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна $\frac{a_1}{1 - q}$, если $|q| < 1$.