Для чайников

Шпаргалка — Для чайников

К конспекту

Числовые ряды

dlyachainikov.ru · Математический анализ

Определение числового ряда

Числовым рядом называется бесконечная сумма вида
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots$
где $a_n$ – члены ряда.

Признак д'Аламбера

$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1,$

Признак Коши

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} < 1,$

Признак сравнения

Если ряд $\sum b_n$ уже исследован и известен его характер (сходится или расходится), то ряд $\sum a_n$ сходится при условии, что $|a_n|\leq |b_n|$

Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей его членов:
$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$
Если ряд сходится, но не является абсолютно сходящимся, он называется условно сходящимся.

Пример абсолютной сходимости

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$

Пример условной сходимости

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n}$
$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin(n)}{n}\right|$

Размеченные пропуски

Признак д’Аламбера
признак д’Аламбера
Абсолютная сходимость
ряд сходится абсолютно
Условная сходимость
ряд сходится абсолютно