Несобственные интегралы — Математический анализ

Определение несобственного интеграла

— это обобщение понятия определённого интеграла на случаи бесконечных пределов интегрирования или неограниченных подынтегральных функций.

Виды несобственных интегралов

$\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ или $\int_{-\infty}^{b} f(x) dx$

$\int_{a}^{b} f(x) dx$ , где функция $f(x)$ имеет разрыв в точке $(a,b)$ .

Существование несобственного интеграла

Интеграл существует тогда и только тогда, когда предел соответствующего интегрального выражения конечен.

$\int_{a}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{{t}\to {+\infty}}\int_{a}^{t} f(x) dx$

$\int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim_{{t}\to {-\infty}}\int_{t}^{b} f(x) dx$

Примеры вычисления несобственных интегралов

Пример 1: Несобственный интеграл I рода

Вычислить $\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2}$ .

Решение:

$\lim_{{t}\to {+\infty}}\int_{1}^{t} \frac{dx}{x^2} = \lim_{{t}\to {+\infty}} \left[- \frac{1}{x}\right]_1^{t} = \lim_{{t}\to {+\infty}} \left( -\frac{1}{t} + 1\right) = 1$

Пример 2: Несобственный интеграл II рода

Вычислить $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{|x|}}$ .

Решение:

Разделим интеграл на два:

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{|x|}} = \int_{-1}^{0} \frac{dx}{\sqrt{-x}} + \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}$

Каждое из этих выражений является несобственным интегралом II рода. Вычислим их отдельно:

$\int_{-1}^{0} \frac{dx}{\sqrt{-x}} = \lim_{{t}\to 0^{-}} \int_{-1}^{t} \frac{dx}{\sqrt{-x}} = \lim_{{t}\to 0^{-}} [-2\sqrt{-x}]_{-1}^{t} = 2$

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}} = [2\sqrt{x}]_0^1 = 2$

Таким образом,

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{|x|}} = 2 + 2 = 4$

Критерии сходимости несобственных интегралов

для несобственных интегралов I рода: Если $\int_{a}^{+\infty} |f(x)| dx$ сходится, то $\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ также сходится абсолютно.

для несобственных интегралов II рода: Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ неотрицательны и равны нулю при $x > b$ . Тогда если $\int_{b}^{+\infty} g(x) dx$ сходится и $f(x) \leq g(x)$ , то $\int_{b}^{+\infty} f(x) dx$ также сходится.

Применение несобственных интегралов

Несобственные интегралы широко применяются в физике и инженерии для вычисления площадей, длин дуг, объёмов тел вращения и других физических величин.

Определение несобственного интеграла

Виды несобственных интегралов

$\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ или $\int_{-\infty}^{b} f(x) dx$

$\int_{a}^{b} f(x) dx$ , где функция $f(x)$ имеет разрыв в точке $(a,b)$ .

Существование несобственного интеграла

Интеграл существует тогда и только тогда, когда предел соответствующего интегрального выражения конечен.

$\int_{a}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{{t}\to {+\infty}}\int_{a}^{t} f(x) dx$

$\int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim_{{t}\to {-\infty}}\int_{t}^{b} f(x) dx$

Примеры вычисления несобственных интегралов

Пример 1: Несобственный интеграл I рода

Вычислить $\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2}$ .

Решение:

$\lim_{{t}\to {+\infty}}\int_{1}^{t} \frac{dx}{x^2} = \lim_{{t}\to {+\infty}} \left[- \frac{1}{x}\right]_1^{t} = \lim_{{t}\to {+\infty}} \left( -\frac{1}{t} + 1\right) = 1$

Пример 2: Несобственный интеграл II рода

Вычислить $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{|x|}}$ .

Решение:

Разделим интеграл на два:

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{|x|}} = \int_{-1}^{0} \frac{dx}{\sqrt{-x}} + \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}$

Каждое из этих выражений является несобственным интегралом II рода. Вычислим их отдельно:

$\int_{-1}^{0} \frac{dx}{\sqrt{-x}} = \lim_{{t}\to 0^{-}} \int_{-1}^{t} \frac{dx}{\sqrt{-x}} = \lim_{{t}\to 0^{-}} [-2\sqrt{-x}]_{-1}^{t} = 2$

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}} = [2\sqrt{x}]_0^1 = 2$

Таким образом,

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{|x|}} = 2 + 2 = 4$

Критерии сходимости несобственных интегралов

для несобственных интегралов I рода: Если $\int_{a}^{+\infty} |f(x)| dx$ сходится, то $\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ также сходится абсолютно.

для несобственных интегралов II рода: Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ неотрицательны и равны нулю при $x > b$ . Тогда если $\int_{b}^{+\infty} g(x) dx$ сходится и $f(x) \leq g(x)$ , то $\int_{b}^{+\infty} f(x) dx$ также сходится.