Приложения определённого интеграла

Определённый интеграл широко применяется для вычисления площади плоской фигуры ограниченной кривыми линиями. Если функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[a,b]$, то объемдлина дугиплощадь под графиком этой функции определяется как

$$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

Длина дугиобъем тела вращенияплощадь гладкой кривой задаётся формулой

$$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$$

где $f'(x)$ – производная функции $f(x)$.

Если фигура ограничена сверху графиком непрерывной положительной функции $y=f(x)$, снизу осью абсцисс, слева прямой $x=a$ и справа прямой $x=b$, то работа силыдлина дугиобъём тела вращения вокруг оси OX находится по формуле

$$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2} dx$$

Работа постоянной силы вдоль прямолинейного пути равна произведению модуля силы на пройденное расстояние. Для переменной силы работа выражается через определённый интеграл:

$$A = \int_{a}^{b} F(x) dx$$

Масса такой линии вычисляется по формуле

$$m = \int_{a}^{b} \rho(x) dx$$

где $\rho(x)$ – плотность материала в точке x.

Ответ: ${{16/3}|16|16/3}$.

Ответ: ${{2\sqrt{3}\ln 2}|2\ln 2|\sqrt{3}\ln 2}$.

Ответ: ${{2(e-1)}|2e|2(e-1)}$.