Определённый интеграл Римана

Определённый интеграл Римана — это предел интегральной суммы при стремлении разбиений отрезка к нулю. Он обозначается как $\int_{a}^{b} f(x) dx$ и читается "интеграл от a до b функции f(x) по dx".

Интегрируемая функцияинтегрируемая суммадифференцируемая функция должна быть ограниченной на отрезке $[a,b]$ и иметь конечное число точек разрыва первого рода.

Если функция неотрицательна на отрезке, то определённый интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

$$\int_{a}^{b} c \cdot f(x) dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x) dx \\ \int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx \\ \int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx \\ \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

Существует точка $c \in [a,b]$, такая что

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = f(c)(b-a)$$

При замене переменной $x=\varphi(t)$ получаем формулу:

$$\int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) dt = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u) du$$

Формула Ньютона-Лейбницаформула Лейбница-Ньютонаформула Ньютона-Лапласа связывает определённый интеграл с первообразной:

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a), \text{ где } F(x) \text{ — любая первообразная }$$

Пример 1: Найти $\int_{0}^{1} x^2 dx$

Решение:

$$F(x) = \frac{x^3}{3}, \quad \int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{3}$$

Пример 2: Вычислить $\int_{-1}^{1} |x| dx$

Решение:

Разделим интеграл на два:

$$\int_{-1}^{1} |x| dx = \int_{-1}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{1} x dx = \left[- \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{1} = \frac{1}{2}$$

Изучение определённого интеграла является важным этапом математического анализа, так как позволяет решать задачи нахождения площадей фигур, объёмов тел вращения, длин дуг кривых и других прикладных задач.