Шпаргалка — Для чайников
dlyachainikov.ru · Математический анализ Определённый интеграл Римана — это предел интегральной суммы при стремлении разбиений отрезка к нулю. Он обозначается как ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b} f(x) dx ∫ a b f ( x ) d x и читается "интеграл от a до b функции f(x) по dx". Интегрируемая функция должна быть ограниченной на отрезке [ a , b ] [a,b] [ a , b ] и иметь конечное число точек разрыва первого рода. Если функция неотрицательна на отрезке, то определённый интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и вертикальными прямыми x = a x=a x = a и x = b x=b x = b . ∫ a b c ⋅ f ( x ) d x = c ⋅ ∫ a b f ( x ) d x ∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b} c \cdot f(x) dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x) dx \\
\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx \\
\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx \\
\int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx ∫ a b c ⋅ f ( x ) d x = c ⋅ ∫ a b f ( x ) d x ∫ a b [ f ( x ) + g ( x )] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) d x Существует точка c ∈ [ a , b ] c \in [a,b] c ∈ [ a , b ] , такая что ∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) ( b − a ) \int_{a}^{b} f(x) dx = f(c)(b-a) ∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) ( b − a ) При замене переменной x = φ ( t ) x=\varphi(t) x = φ ( t ) получаем формулу: ∫ a b f ( φ ( t ) ) ⋅ φ ′ ( t ) d t = ∫ φ ( a ) φ ( b ) f ( u ) d u \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) dt = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u) du ∫ a b f ( φ ( t )) ⋅ φ ′ ( t ) d t = ∫ φ ( a ) φ ( b ) f ( u ) d u Пример 1: Найти ∫ 0 1 x 2 d x \int_{0}^{1} x^2 dx ∫ 0 1 x 2 d x F ( x ) = x 3 3 , ∫ 0 1 x 2 d x = F ( 1 ) − F ( 0 ) = 1 3 F(x) = \frac{x^3}{3}, \quad \int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{3} F ( x ) = 3 x 3 , ∫ 0 1 x 2 d x = F ( 1 ) − F ( 0 ) = 3 1
Формула Ньютона-Лейбница связывает определённый интеграл с первообразной: ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) , где F ( x ) — любая первообразная \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a), \text{ где } F(x) \text{ — любая первообразная } ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) , где F ( x ) — любая первообразная Пример 2: Вычислить ∫ − 1 1 ∣ x ∣ d x \int_{-1}^{1} |x| dx ∫ − 1 1 ∣ x ∣ d x ∫ − 1 1 ∣ x ∣ d x = ∫ − 1 0 ( − x ) d x + ∫ 0 1 x d x = [ − x 2 2 ] − 1 0 + [ x 2 2 ] 0 1 = 1 2 \int_{-1}^{1} |x| dx = \int_{-1}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{1} x dx = \left[- \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{1} = \frac{1}{2} ∫ − 1 1 ∣ x ∣ d x = ∫ − 1 0 ( − x ) d x + ∫ 0 1 x d x = [ − 2 x 2 ] − 1 0 + [ 2 x 2 ] 0 1 = 2 1