Интегрирование рациональных, иррациональных и тригонометрических функций

Интегрирование рациональной функции сводится к разложению её на простейшие дроби.

Рациональную функцию можно представить как сумму простейших дробей вида $\frac{A}{(x-a)^n}$, $\frac{B}{x^2+b^2}$ или $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.

Пример: $\int \frac{dx}{x^2-9} = \int \frac{dx}{(x-3)(x+3)}$

Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

$$\frac{1}{(x-3)(x+3)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+3}$$

Найдем коэффициенты $A$ и $B$. Получаем:

$$1 = A(x+3) + B(x-3)$$

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получаем систему уравнений и находим $A=1/6$, $B=-1/6$.

Таким образом,

$$\int \frac{dx}{x^2-9} = \frac{1}{6}\ln|x-3| - \frac{1}{6}\ln|x+3| + C$$

Интегрирование выражений с корнями часто требует замены переменных.

Пример: $\int \sqrt{x^2+1} \, dx$

Замена $x=\tan t$, тогда $dx = \sec^2t dt$. Подставляем и интегрируем:

$$\int \sqrt{\tan^2t+1} \cdot \sec^2t dt = \int \sec^3t dt$$

Используем стандартную формулу:

$$\int \sec^3t dt = \frac{1}{2}(\sec t \tan t + \ln|\sec t + \tan t|) + C$$

Возвращаемся к исходной переменной $x$ и получаем ответ.

Часто используются следующие замены:

Пример: $\int \sin^3x \cos x dx$

Замена $u=\sin x$, тогда $du=\cos x dx$:

$$\int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4x}{4} + C$$