Интегрирование рациональных, иррациональных и тригонометрических функций

dlyachainikov.ru · Математический анализ

Алгоритм разложения

Рациональную функцию можно представить как сумму простейших дробей вида $\frac{A}{(x-a)^n}$ , $\frac{B}{x^2+b^2}$ или $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$ .
Пример: $\int \frac{dx}{x^2-9} = \int \frac{dx}{(x-3)(x+3)}$
$\frac{1}{(x-3)(x+3)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+3}$
Найдем коэффициенты $A$ и $B$ . Получаем:
$1 = A(x+3) + B(x-3)$
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ , получаем систему уравнений и находим $A=1/6$ , $B=-1/6$ .

Алгоритм разложения

Рациональную функцию можно представить как сумму простейших дробей вида

\frac{A}{(x-a)^n}

\frac{B}{x^2+b^2}

или

\frac{Cx+D}{x^2+px+q}

Пример:

\int \frac{dx}{x^2-9} = \int \frac{dx}{(x-3)(x+3)}

\frac{1}{(x-3)(x+3)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+3}

Найдем коэффициенты

A

B

. Получаем:

1 = A(x+3) + B(x-3)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

x

, получаем систему уравнений и находим

A=1/6

B=-1/6

Пропуски

Первообразная первообразная

Неопределенный интеграл интеграл

Простейшая дробь простая дробь

Замена переменной замена переменной

Формула Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница

Определённый интеграл определённый интеграл