Первообразная и неопределённый интеграл

Первообразной функцией для заданной функции $f(x)$ называется функция $F(x)$, производная которой равна исходной функции, то есть $(F'(x) = f(x))$.

Пример: Пусть дана функция $f(x) = x^2$. Тогда её первообразной является функция $F(x) = \frac{x^3}{3} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Неопределённым интегралом от функции $f(x)$ называют множество всех её первообразных. Обозначается он так: $\int f(x) dx$.

Ниже приведены основные формулы для вычисления неопределённых интегралов:

Метод замены переменных позволяет упростить вычисление интегралов. Пусть требуется найти $\int f(g(x))g'(x) dx$. Введём новую переменную $u = g(x)$. Тогда $du = g'(x) dx$ и получаем:

$$\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$$

Пример: Найти $\int 2x\sqrt{x^2 + 1} dx$. Сделаем замену $u = x^2 + 1$, тогда $du = 2x dx$. Получим:

$$\int 2x\sqrt{x^2 + 1} dx = \int \sqrt{u} du = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C$$

Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

$$\int u dv = uv - \int v du$$

Пример: Вычислить $\int x \ln x dx$. Пусть $u = \ln x$, $dv = x dx$. Тогда $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$. Применяем формулу:

$$\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

производнаядифференциалпервообразная заменапеременнойтаблицанеопределённыхинтеграловинтегрированиепочастям заменапеременнойформулынеопределённыхинтеграловтаблицанеопределённыхинтегралов