Шпаргалка — Для чайниковdlyachainikov.ru · Математический анализ- Первообразной функцией для заданной функции f(x) называется функция F(x), производная которой равна исходной функции, то есть (F′(x)=f(x)).
- Пример: Пусть дана функция f(x)=x2. Тогда её первообразной является функция F(x)=3x3+C
- Неопределённым интегралом от функции f(x) называют множество всех её первообразных. Обозначается он так: ∫f(x)dx.
- ∫dF(x)=F(x)+C
- ∫a⋅f(x)dx=a∫f(x)dx
- ∫xndx=n+1xn+1+C,n=−1
- Метод замены переменных позволяет упростить вычисление интегралов. Пусть требуется найти ∫f(g(x))g′(x)dx. Введём новую переменную u=g(x). Тогда
- ∫udv=uv−∫vdu
- Пример: Вычислить ∫xlnxdx. Пусть u=lnx
, где
— произвольная постоянная.
∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx ∫xdx=ln∣x∣+C ∫exdx=ex+C ∫axdx=lnaax+C,a>0,a=1 ∫sinxdx=−cosx+C ∫cosxdx=sinx+C du=g′(x)dx и получаем:
∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du Пример: Найти ∫2xx2+1dx. Сделаем замену u=x2+1, тогда du=2xdx. Получим: ∫2xx2+1dx=∫udu=32u23+C=32(x2+1)23+C ,
. Тогда
du=x1dx ,
v=2x2 . Применяем формулу:
∫xlnxdx=2x2lnx−∫2x2⋅x1dx=2x2lnx−4x2+C первообразная заменапеременной таблицанеопределённыхинтегралов