Квадратичные формы

Квадратичная формаПример:квадратичнаяформа — это функция от переменных, представимая в виде суммы квадратов линейных функций с коэффициентами из поля действительных чисел.

Общий вид квадратичной формы:

$$f(x_1, x_2, \dots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \dots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + \dots$$

где $a_{ij} = a_{ji}$ (симметричность).

Приведение квадратичной формы к каноническому виду осуществляется через замену переменных:

$x_i = y_i + c_i$

Квадратичная формаквадратичнаяформаПример: Пусть дана квадратичная форма $f(x, y) = 3x^2 - 4xy + 5y^2$. Найти её канонический вид. Решение: Построим матрицу квадратичной формы:

$$A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$$

Найдем собственные значения $\lambda$ уравнения $|A - \lambda I| = 0$: $\lambda^2 - 8\lambda + 19 = 0$ Получаем $\lambda_1 = 4, \lambda_2 = 5$. Тогда каноническая форма будет иметь вид: $f(y_1, y_2) = 4y_1^2 + 5y_2^2$.

Квадратичная форма называется положительно определенной, если она принимает положительные значения при всех ненулевых значениях аргументов.

Форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы квадратичной формы положительны.

Нейтральная квадратичная форма имеет хотя бы один нулевой главный минор, а отрицательно определенная — отрицательные значения при некоторых ненулевых аргументах.

Любая симметричная квадратичная форма может быть представлена как сумма квадратов линейных функций. Это разложение используется для приведения формы к каноническому виду.

Квадратичные формы широко применяются в теории кривых и поверхностей второго порядка, механике, оптимизации и других областях математики и физики.

линейнаяфункцияквадратичнаяформаматрицаформы