Собственные значения и собственные векторы

Собственное значение $\lambda$ линейного оператора $A$ — это такое число, при котором существует ненулевой вектор $x$, удовлетворяющий уравнению

$$Ax = \lambda x.$$

Вектор $x$ называется собственным вектором, соответствующим собственному значению $\lambda$.

Рассмотрим оператор в матричной форме $A$. Для нахождения собственных значений составим характеристическое уравнение:

$$\det(A - \lambda I) = 0,$$

где $I$ — единичная матрица.

Полученное уравнение является алгебраическим уравнением относительно $\lambda$. Его корни являются собственными значениями.

Подставляем найденное собственное значение $\lambda$ в уравнение $(A - \lambda I)x = 0$ и решаем его. Полученные решения образуют множество собственных векторов.

Пусть дана матрица

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$$

Найдем её собственные значения и собственные векторы.

Составим характеристическое уравнение:

$$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = 0.$$

Решая уравнение, получаем $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 3$.

Теперь найдем собственные векторы:

Правильный ответ: характеристическое.

Правильный ответ: алгебраический.

Правильный ответ: оператор.