Собственные значения и собственные векторы

dlyachainikov.ru · Алгебра и геометрия

Определение собственных значений и собственных векторов

Собственное значение $\lambda$ линейного оператора $A$ — это такое число, при котором существует ненулевой вектор $x$ , удовлетворяющий уравнению
$Ax = \lambda x.$
Вектор $x$ называется собственным вектором, соответствующим собственному значению $\lambda$ .

Рассмотрим оператор в матричной форме $A$ . Для нахождения собственных значений составим характеристическое уравнение:
$\det(A - \lambda I) = 0,$
где $I$ — единичная матрица.

Полученное уравнение является алгебраическим уравнением относительно $\lambda$ . Его корни являются собственными значениями.

Подставляем найденное собственное значение $\lambda$ в уравнение $(A - \lambda I)x = 0$ и решаем его. Полученные решения образуют множество собственных векторов.

$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = 0.$

Если $\lambda$ — собственное значение, то и $\overline{\lambda}$ также является собственным значением.

Определение собственных значений и собственных векторов

Собственное значение

\lambda

линейного оператора

A

— это такое число, при котором существует ненулевой вектор

x

, удовлетворяющий уравнению

Ax = \lambda x.

Вектор

x

называется собственным вектором, соответствующим собственному значению

\lambda

Шаг 1. Составление характеристического уравнения

Рассмотрим оператор в матричной форме

A

. Для нахождения собственных значений составим характеристическое уравнение:

\det(A - \lambda I) = 0,

где

I

— единичная матрица.