Линейные операторы и их матрицы

Линейный оператор $\mathbf{A}$ — это отображение линейного пространства $\mathbb{V}$ в себя, обладающее свойствами:

$$\mathbf{A}(u+v) = \mathbf{A}u + \mathbf{A}v,\quad \mathbf{A}(\alpha u) = \alpha \mathbf{A}u,$$

где $u,v$ — элементы пространства, а $\alpha$ — скаляр.

Матрицей линейного оператора $\mathbf{A}$, действующего в пространстве с базисом $\{\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n\}$, является квадратная матрица размера $n \times n$:

$$[A]_{ij} = \langle \mathbf{A}\mathbf{e}_j, \mathbf{e}_i \rangle.$$

Если существует ортонормированный базис из собственных векторов линейного оператора, то его матрица в этом базисе будет диагональной:

$$[\mathbf{A}]_{\text{собств}} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix},$$

где $\lambda_i$ — собственные значения оператора.

Инвариантное подпространство $W$ относительно оператора $\mathbf{A}$ означает, что любой вектор из этого подпространства при действии оператора остаётся внутри него:

$$\mathbf{A}W \subseteq W.$$

Каноническая форма Жордана используется для представления матриц линейных операторов, которые не диагонализуемы. Она состоит из блоков Жордана:

$$J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda \end{pmatrix}.$$

Ответ: $A - I$.

Ответ: Да, так как все корни характеристического уравнения различны, оператор диагонализируем.

подпространство