Линейные операторы и их матрицы

dlyachainikov.ru · Алгебра и геометрия

Линейные операторы

Линейный оператор $\mathbf{A}$ — это отображение линейного пространства $\mathbb{V}$ в себя, обладающее свойствами:
$\mathbf{A}(u+v) = \mathbf{A}u + \mathbf{A}v,\quad \mathbf{A}(\alpha u) = \alpha \mathbf{A}u,$
где $u,v$ — элементы пространства, а $\alpha$ — скаляр.

Матрицей линейного оператора $\mathbf{A}$ , действующего в пространстве с базисом $\{\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n\}$ , является квадратная матрица размера $n \times n$

$[\mathbf{A}]_{\text{собств}} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix},$

Инвариантное подпространство $W$ относительно оператора $\mathbf{A}$ означает, что любой вектор из этого подпространства при действии оператора остаётся внутри него:
$\mathbf{A}W \subseteq W.$

$J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda \end{pmatrix}.$

Найти матрицу линейного оператора $\mathbf{A}$ , заданного формулой $\mathbf{A}x = Ax - x$ , где $A$ — фиксированная матрица.
Ответ: $A - I$

Линейные операторы

Линейный оператор

\mathbf{A}

— это отображение линейного пространства

\mathbb{V}

в себя, обладающее свойствами:

\mathbf{A}(u+v) = \mathbf{A}u + \mathbf{A}v,\quad \mathbf{A}(\alpha u) = \alpha \mathbf{A}u,

где

u,v

— элементы пространства, а

\alpha

— скаляр.

Диагонализация операторов

[\mathbf{A}]_{\text{собств}} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix},

Инвариантные подпространства

Инвариантное подпространство

W

относительно оператора

\mathbf{A}

означает, что любой вектор из этого подпространства при действии оператора остаётся внутри него:

\mathbf{A}W \subseteq W.