Евклидовы пространства

Евклидово пространство — это линейное пространство с заданной положительно определенной симметричной билинейной формой, называемой скалярным произведением. Обозначается как $\mathbb{R}^n$ или $\mathbb{E}^n$.

$$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 + ... + u_n v_n$$

где $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ — векторы из $\mathbb{R}^n$.

Ортонормированным базисом называется такой базис, где все векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину. В таком базисе выполняется условие:

$$\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$$

где $\delta_{ij}$ — символ Кронекера.

Длина вектора $\mathbf{u}$ определяется через скалярное произведение:

$$\|\mathbf{u}\| = \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}$$

Расстояние между двумя точками $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ вычисляется по формуле:

$$d(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \|\mathbf{a} - \mathbf{b}\|$$

Угол $\theta$ между векторами $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ находится по формуле:

$$\cos\theta = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}$$

Проекцией вектора $\mathbf{u}$ на вектор $\mathbf{v}$ является величина:

$$\text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{v}\|^2} \mathbf{v}$$

Нормированием вектора $\mathbf{u}$ называют процесс приведения его длины к единице:

$$\mathbf{u}_n = \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|}$$

Даны два вектора $\mathbf{u} = (1, 2)$ и $\mathbf{v} = (3, 4)$. Найти угол между ними.

Решение:

$$\cos\theta = \frac{(1*3) + (2*4)}{\sqrt{1^2+2^2} \cdot \sqrt{3^2+4^2}} = \frac{11}{5\sqrt{25}} = \frac{11}{25}$$

Таким образом,

$$\theta = \arccos\left(\frac{11}{25}\right)$$