Евклидовы пространства

dlyachainikov.ru · Алгебра и геометрия

Определение евклидова пространства

Евклидово пространство — это линейное пространство с заданной положительно определенной симметричной билинейной формой, называемой скалярным произведением. Обозначается как $\mathbb{R}^n$ или $\mathbb{E}^n$ .
$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 + ... + u_n v_n$
где $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ — векторы из $\mathbb{R}^n$ .

Ортонормированный базис

$\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$
где $\delta_{ij}$

Длина вектора и расстояние между точками

Длина вектора $\mathbf{u}$ определяется через скалярное произведение:
$\|\mathbf{u}\| = \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}$

Угол между векторами

Угол $\theta$ между векторами $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ находится по формуле:
$\cos\theta = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}$

Проекция вектора на направление

Проекцией вектора $\mathbf{u}$ на вектор $\mathbf{v}$ является величина:
$\text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{v}\|^2} \mathbf{v}$

Нормирование вектора

Нормированием вектора $\mathbf{u}$ называют процесс приведения его длины к единице:
$\mathbf{u}_n = \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|}$

Пример задачи

Даны два вектора $\mathbf{u} = (1, 2)$ и $\mathbf{v} = (3, 4)$ . Найти угол между ними.
$\cos\theta = \frac{(1*3) + (2*4)}{\sqrt{1^2+2^2} \cdot \sqrt{3^2+4^2}} = \frac{11}{5\sqrt{25}} = \frac{11}{25}$

Пропуски

Скалярное произведение векторов: <
Ортонормированный базис: да
Формула расстояния между точками: {{d(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = ||\mathbf{a}-\mathbf{b}|||>}}
Нормирование вектора: {{нормирование = \mathbf{u}/\|\mathbf{u}\| |>}}

Определение евклидова пространства

Евклидово пространство — это линейное пространство с заданной положительно определенной симметричной билинейной формой, называемой скалярным произведением. Обозначается как

\mathbb{R}^n

или

\mathbb{E}^n

\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 + ... + u_n v_n

где

\mathbf{u}

\mathbf{v}

— векторы из

\mathbb{R}^n

Пример задачи

Даны два вектора

\mathbf{u} = (1, 2)

\mathbf{v} = (3, 4)

. Найти угол между ними.

\cos\theta = \frac{(1*3) + (2*4)}{\sqrt{1^2+2^2} \cdot \sqrt{3^2+4^2}} = \frac{11}{5\sqrt{25}} = \frac{11}{25}

Пропуски

Скалярное произведение векторов: <

Ортонормированный базис: да

Формула расстояния между точками: {{d(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = ||\mathbf{a}-\mathbf{b}|||>}}

Нормирование вектора: {{нормирование = \mathbf{u}/\|\mathbf{u}\| |>}}