- Евклидово пространство
- Евклидово пространство — это линейное пространство с введённой скалярной произведением, удовлетворяющим аксиомам Евклида.
- Скалярное произведение векторов
- В евклидовом пространстве скалярное произведение векторов $a$ и $b$ определяется как $a \cdot b = \|a\| \cdot \|b\| \cdot \cos(\theta)$, где $\theta$ — угол между векторами.
- Норма вектора
- Норма вектора в евклидовом пространстве — это его длина, вычисляемая по формуле $\|a\| = \sqrt{a \cdot a}$.
- Расстояние между точками
- Расстояние между точками $A$ и $B$ в евклидовом пространстве определяется как $\|A - B\|$.
- Ортонормированный базис
- Ортонормированный базис в евклидовом пространстве — это базис, в котором векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину.
- Процесс ортогонализации Грама — Шмидта
- В евклидовом пространстве любой базис можно ортонормировать с помощью процесса ортогонализации Грама — Шмидта.
- Евклидова норма матрицы
- Евклидова норма матрицы — это корень из суммы квадратов её элементов.
- Неравенство треугольника для нормы
- Евклидова норма вектора и матрицы удовлетворяет неравенству треугольника: $\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$.
- Угол между векторами
- В евклидовом пространстве угол между векторами $a$ и $b$ вычисляется по формуле $\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{\|a\| \cdot \|b\|}$.
- Разложение вектора по ортонормированному базису
- В евклидовом пространстве любой вектор можно разложить по ортонормированному базису, и его координаты в этом базисе — это проекции вектора на базисные векторы.
- Положительно определённая квадратичная форма
- В евклидовом пространстве квадратичная форма $Q(x) = x^T A x$ является положительно определённой, если $A$ — положительно определённая матрица.
- Отрицательно определённая квадратичная форма
- В евклидовом пространстве квадратичная форма $Q(x) = x^T A x$ является отрицательно определённой, если $A$ — отрицательно определённая матрица.