Линейные пространства, базис и размерность — Алгебра и геометрия

Линейное пространство

— это множество элементов (векторов), над которыми определены две операции: сложение векторов и умножение вектора на число (скаляр). Эти операции подчиняются следующим аксиомам:

Коммутативность сложения ( $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ )
Ассоциативность сложения ( $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ )
Наличие нулевого элемента ( $\exists \vec{0}: \vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$ )
Существование противоположного элемента ( $\forall \vec{v} \exists -\vec{v}: \vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}$ )
Дистрибутивность скалярного произведения относительно сложения векторов
Дистрибутивность скалярного произведения относительно сложения скаляров
Ассоциативность умножения вектора на произведение чисел
Единичность числа при умножении вектора ( $\lambda \cdot \vec{v} = \vec{v}$ , если $\lambda = 1$ )

Базис линейного пространства

Базисом линейного пространства называется упорядоченная система векторов, удовлетворяющая двум условиям:

: никакая часть системы не может быть выражена через остальные элементы системы
СПАННУЮЩАЯ СВОЙСТВА: любой вектор из данного пространства можно представить как линейную комбинацию этих векторов

Размерность линейного пространства

Размерностью линейного пространства называют количество векторов в его базисе. Если базиса нет или он бесконечен, то говорят, что пространство имеет бесконечную размерность.

Примеры задач с базисом и размерностью

Пример 1

Даны три вектора $\vec{e}_1 = (1, 0)$ , $\vec{e}_2 = (0, 1)$ и $\vec{e}_3 = (1, 1)$ . Проверить, образуют ли они базис в пространстве $\mathbb{R}^2$ .

Проверим линейную независимость: система векторов линейно независима, так как ни один из них нельзя выразить через другие. Следовательно, эти векторы образуют базис.

Пример 2

Найти размерность пространства решений однородной системы уравнений:

$\begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 0 \end{cases}$

Решение: Решим систему методом Гаусса и найдем ранг матрицы коэффициентов. Получаем, что ранг равен 2, значит, размерность ядра равна $n - r = 3 - 2 = 1$ .