Линейное пространство — это множество элементов (векторов), над которыми определены две операции: сложение векторов и умножение вектора на число (скаляр). Эти операции подчиняются следующим аксиомам:
Коммутативность сложения (a+b=b+a)
Ассоциативность сложения ((a+b)+c=a+(b+c)
Наличие нулевого элемента (∃0:v+0=v
Существование противоположного элемента (∀v∃−v:v+(−v)=0
Единичность числа при умножении вектора (λ⋅v=v
Базис линейного пространства
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ: никакая часть системы не может быть выражена через остальные элементы системы
Пример 1
Даны три вектора e1=(1,0), e2=(0,1)
Пример 2
{x1−x2+x3=02x1+x2−x3=0
)
)
)
, если
λ=1
)
и
e3=(1,1)
. Проверить, образуют ли они базис в пространстве
R2
.
Решение: Проверим линейную независимость: система векторов линейно независима, так как ни один из них нельзя выразить через другие. Следовательно, эти векторы образуют базис.
Решение: Решим систему методом Гаусса и найдем ранг матрицы коэффициентов. Получаем, что ранг равен 2, значит, размерность ядра равна n−r=3−2=1.