Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши

Теорема утверждает, что если функция $f(x)$ имеет локальный экстремум в точке $x_0$ и эта точка является внутренней точкой области определения функции, то производная этой функции в данной точке равна нулю.

Формулировка: Теорема Фермаеслисуществует$f'(x_0) = 0$, то $x_0$ – точка экстремума.

Пример: найти точку экстремума функции $f(x)=x^3 - 3x + 2$. Решение: найдем производную $f'(x) = 3x^2 - 3$ и приравняем её к нулю: $3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема на интервале $(a,b)$, а также $f(a) = f(b)$, то существует такая точка $c \in (a,b)$, что $f'(c) = 0$.

Формулировка: если $f(a) = f(b)$, то найдется $c \in (a,b)$ : $f'(c) = 0$.

Пример: доказать существование точки экстремума у функции $f(x) = x^3 - 3x + 2$ на отрезке [−1, 1]. Решение: проверим условия теоремы Ролля: $f(-1) = -2$, $f(1) = 2$, но $f(-1) \neq f(1)$. Значит, условие теоремы не выполняется.

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема на интервале $(a,b)$, то существует хотя бы одна точка $c \in (a,b)$, где справедливо равенство $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$.

Формулировка: еслиТеорема Роллясуществует$c \in (a,b)$: $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$.

Пример: вычислить значение производной в некоторой точке, используя теорему Лагранжа. Пусть дана функция $f(x) = x^2$ на отрезке $[1,3]$. Найти $f'(c)$ при $c \in (1,3)$. Решение: $\frac{9-1}{3-1} = 4 = f'(c) = 2c \Rightarrow c = 2$.

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на отрезке $[a,b]$ и дифференцируемы на интервале $(a,b)$, причем $g'(x) \neq 0$ во всех точках этого интервала, то существует точка $c \in (a,b)$, где $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$.

Формулировка: существует $c \in (a,b)$: $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$.

Пример: применить теорему Коши к функциям $f(x) = x^2$ и $g(x) = e^x$ на отрезке $[0,1]$. Решение: $\frac{e-1}{1} = \frac{2c}{e^c}$.