Теорема утверждает, что если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке x0 и эта точка является внутренней точкой области определения функции, то производная этой функции в данной точке равна нулю.
Формулировка: еслиf′(x0)=0, то x0 – точка экстремума.
Пример: найти точку экстремума функции f(x)=x3−3x+2. Решение: найдем производную f′(x)=3x2−3
Теорема Ролля
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), а также f(a)=f(b)
Теорема Лагранжа
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), то существует хотя бы одна точка c∈(a,b)
Теорема Коши
Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b] и дифференцируемы на интервале (a,b), причем g′(x)=0
и приравняем её к нулю:
3x2−3=0⇒x2=1⇒x=±1
.
, то существует такая точка
c∈(a,b)
, что
f′(c)=0
.
Формулировка: если f(a)=f(b), то найдется c∈(a,b) : f′(c)=0.
Пример: доказать существование точки экстремума у функции f(x)=x3−3x+2 на отрезке [−1, 1]. Решение: проверим условия теоремы Ролля: f(−1)=−2, f(1)=2, но f(−1)=f(1). Значит, условие теоремы не выполняется.
Пример: вычислить значение производной в некоторой точке, используя теорему Лагранжа. Пусть дана функция f(x)=x2 на отрезке [1,3]. Найти f′(c) при c∈(1,3). Решение: 3−19−1=4=f′(c)=2c⇒c=2.
во всех точках этого интервала, то существует точка
c∈(a,b)
, где
g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(c)f′(c)
.
Формулировка: существует c∈(a,b): g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(c)f′(c).
Пример: применить теорему Коши к функциям f(x)=x2 и g(x)=ex на отрезке [0,1]. Решение: 1e−1=ec2c.