Производная и дифференциал

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ обозначается как $f'(x_0)$ или $\frac{df}{dx}(x_0)$. Это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:

$$f'(x_0) = \lim_{h\to0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Дифференциал функции $y=f(x)$ определяется через её производную следующим образом:

$$dy = f'(x) dx$$

где $dx$ — бесконечно малое приращение аргумента.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в данной точке.

Если функция описывает движение материальной точки, то её производная представляет собой скорость движения в данный момент времени.

Найти производную функции $f(x)=x^3+2x^2-5$.

Решение:

$$f'(x) = 3x^2 + 4x$$

Хотя понятия близки, они различаются:

производнаядифференциалфункция угловойкоэффициентграфикприращениеаргумента точкаразрывакасательнаяскоростьдвижения точкаточнаявеличинаприближённоезначение