- производная функции
- Производная функции в точке — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
- дифференциал функции
- Дифференциал функции в точке — это линейная часть приращения функции, приближающая её приращение в окрестности данной точки.
- дифференцируемость и непрерывность функции
- Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Если функция не дифференцируема в точке, то она может быть непрерывной или иметь разрыв.
- производная константы
- Производная константы равна нулю. Если $f(x) = c$, то $f'(x) = 0$.
- производная суммы функций
- Производная суммы функций равна сумме производных этих функций. Если $f(x) = u(x) + v(x)$, то $f'(x) = u'(x) + v'(x)$.
- производная произведения функций
- Производная произведения функций вычисляется по формуле: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$.
- производная частного функций
- Производная частного функций вычисляется по формуле: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$, где $v \neq 0$.
- дифференциал приближает приращение функции
- Если функция дифференцируема в точке, то её приращение можно представить в виде суммы дифференциала и остаточного члена, стремящегося к нулю быстрее, чем приращение аргумента.
- производная сложной функции
- Производная сложной функции вычисляется по формуле: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
- производная обратной функции
- Производная обратной функции вычисляется по формуле: $(f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$, где $f'(f^{-1}(x)) \neq 0$.