Непрерывность функции и точки разрыва

Определение непрерывности функции

1. Функция определена в точке $x_0$ ($f(x_0)$ существует).

2. Существует предел функции при приближении аргумента к $x_0$ ($\lim_{{x\to x_0}} f(x)$ существует).

3. Предел функции равен значению функции в этой точке ($\lim_{{x\to x_0}} f(x) = f(x_0)$).

Точки разрыва функции

• Пустая точка разрыва: $\lim_{{x\to x_0^-}} f(x) \neq \lim_{{x\to x_0^+}} f(x)$.

• Точка устранимого разрыва: $\lim_{{x\to x_0}} f(x)$ существует, но либо не совпадает с $f(x_0)$, либо $f(x_0)$ не определено.

• Касательный разрыв (разрыв первого рода): $\lim_{{x\to x_0^-}} f(x) \neq \lim_{{x\to x_0^+}} f(x)$ и оба предела конечны.

• Разрыв второго рода: один или оба односторонних предела бесконечны или не существуют.

Примеры точек разрыва

• Левый предел: $\lim_{{x\to 0^-}} \frac{1}{x} = -\infty$.

• Правый предел: $\lim_{{x\to 0^+}} \frac{1}{x} = +\infty$.

Свойства непрерывных функций

• Сумма, разность, произведение и частное двух непрерывных функций также являются непрерывными функциями.

• Композиция непрерывных функций является непрерывной функцией.

Пример исследования функции на непрерывность

• В точке $x=-1$ функция имеет неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Вычислим предел слева и справа:

точка сглаживанияточка разрываточка касания

пустаянеустранимаяустранимая разрыв

суммаразностьчастное непрерывных функций

несуществованиесуммасуществование пределов