Шпаргалка — Для чайниковdlyachainikov.ru · Математический анализ- Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 если выполняется три условия:
- Функция определена в точке x0 (f(x0) существует).
- Существует предел функции при приближении аргумента к x0 (limx→x0f(x) существует).
- Предел функции равен значению функции в этой точке (limx→x0f(x)=f(x0)).
- limx→x0f(x)=f(x0)
- Разрыв функции в точке x0 может быть классифицирован следующим образом:
- Пустая точка разрыва: limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)
- Рассмотрим функцию f(x)=x1 в точке x=0.
- Левый предел: limx→0−x1=−∞
- Исследуем функцию f(x)={x+1x2−1,2,x=−1x=−1
.
Точка устранимого разрыва: limx→x0f(x) существует, но либо не совпадает с f(x0), либо f(x0) не определено. Касательный разрыв (разрыв первого рода): limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x) и оба предела конечны. Разрыв второго рода: один или оба односторонних предела бесконечны или не существуют..
Правый предел: limx→0+x1=+∞. В точке x=−1 функция имеет неопределенность вида 00. Вычислим предел слева и справа: limx→−1−x+1x2−1=limx→−1−(x−1)=−2, limx→−1+x+1x2−1=limx→−1+(x−1)=−2. Поскольку предел существует и равен значению функции в точке, функция непрерывна в точке x=−1.