Предел функции, замечательные пределы

замечательныйРешение:Предел функции — это значение, к которому стремится функция при аргументе, стремящемся к определённому числу или бесконечности.

$$\lim_{x \to a} f(x) = A$$

означает, что при приближении $x$ к $a$, значения функции $f(x)$ стремятся к числу $A$.

Замечательные пределы играют важную роль в математическом анализе.

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

$$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

где $e$ — основание натурального логарифма ($e \approx 2.71828$).

Вычислить $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$.

Предел функцииРешение:замечательный Разложим числитель на множители: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Тогда выражение примет вид:

$$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3}$$

При $x \neq 3$ сокращаем общий множитель:

$$x + 3$$

Подставляем $x = 0$:

$$\lim_{x \to 0} (x + 3) = 3$$

Найти $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 5}{x - 3}$.

Решение: Делим числитель и знаменатель на $x$:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{5}{x}}{1 - \frac{3}{x}}$$

При $x \to +\infty$ дроби с $x$ в знаменателе стремятся к нулю:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{1} = 2$$

Правильный ответ: замечательный.