- предел функции
- Предел функции в точке — это такое число, к которому значения функции стремятся, когда аргумент приближается к этой точке. Формально: $\lim_{x\to a}f(x)=A$ означает, что для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$, при котором $|f(x)-A|<\varepsilon$ для всех $x$, удовлетворяющих $|x-a|<\delta$.
- замечательный предел первого рода
- Замечательный предел первого рода: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$. Это означает, что отношение синуса к аргументу стремится к 1 при приближении аргумента к нулю.
- замечательный предел второго рода
- Замечательный предел второго рода: $\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$. Это означает, что выражение $(1+x)$ в степени $\frac{1}{x}$ стремится к числу $e$ при приближении $x$ к нулю. Число $e$ примерно равно 2.718.
- непрерывность функции
- Функция называется непрерывной в точке, если её предел в этой точке равен значению функции в этой точке. Если предел не существует или не равен значению функции, то функция имеет разрыв в этой точке.
- точка разрыва функции
- Точка называется точкой разрыва первого рода, если односторонние пределы существуют и конечны, но не равны. Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка разрыва второго рода.
- правило Лопиталя
- Правило Лопиталя: если $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ не определён, но $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$ или $\pm\infty$, то $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$, при условии, что производные существуют и $g'(x)\neq0$. Это правило помогает вычислять пределы функций, приводя их к более простым выражениям.
- формула Тейлора
- Формула Тейлора: $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n$, где $R_n$ — остаток, описывает приближение функции многочленом вблизи точки $a$. Это позволяет лучше понять поведение функции вблизи этой точки.
- дифференцируемость функции
- Функция называется дифференцируемой в точке, если её можно представить в виде $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)$, где $o(x-a)$ — бесконечно малая величина. Это означает, что функция имеет касательную в этой точке.
- производная функции
- Производная функции в точке — это скорость изменения функции в этой точке. Формально: $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Это показывает, насколько быстро функция изменяется при малом изменении аргумента.
- точка локального максимума/минима
- Точка называется точкой локального максимума, если функция достигает наибольшего значения в этой точке и её значения меньше в некоторой окрестности этой точки. Точка минимума определяется аналогично.
- теорема Ферма
- Теорема Ферма: если функция имеет локальный максимум или минимум в точке, где она дифференцируема, то производная в этой точке равна нулю. Это означает, что в точке экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.
- теорема Ролля
- Теорема Ролля: если функция непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервале внутри отрезка и принимает одинаковые значения на концах отрезка, то существует точка внутри отрезка, где производная равна нулю. Это означает, что на отрезке есть точка, где функция не растёт и не падает.
- теорема Лагранжа
- Теорема Лагранжа: если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале внутри отрезка, то существует точка внутри отрезка, где производная равна отношению приращения функции к приращению аргумента. Это означает, что на отрезке есть точка, где функция растёт или падает с постоянной скоростью.
- теорема Коши
- Теорема Коши: если функции непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале внутри отрезка, и $g'(x)\neq0$, то существует точка внутри отрезка, где отношение производных этих функций равно отношению приращений функций к приращению аргумента. Это обобщает теорему Лагранжа на случай двух функций.