Числовые последовательности и их пределы

Числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$, принимающая значения из множества действительных чисел $\mathbb{R}$. Обозначается как $(a_n)$, где $n$ — натуральное число, а $a_n$ — значение функции при данном $n$.

$$(a_n) = a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$$

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что все её члены меньше или равны $M$. Последовательность ограничена снизу, если существуют такие числа, что все её члены больше или равны этим числам. Если последовательность ограничена одновременно сверху и снизу, то она называется ограниченной.

Неограниченная последовательность имеет хотя бы один член, который превосходит любое заранее выбранное большое число.

Монотонная последовательность — это такая последовательность, у которой каждый последующий член либо строго больше предыдущего (возрастающая), либо строго меньше (убывающая).

Предел числовой последовательности определяется следующим образом: предел последовательности $(a_n)$ равен числу $A$, если для любого положительного числа $\varepsilon > 0$ можно найти такой номер $N$, что для всех $n > N$ выполняется неравенство $|a_n - A| < \varepsilon$.

Обозначение предела: $\lim_{n \to \infty} a_n = A$

Если $\lim_{n \to \infty} a_n = A$ и $\lim_{n \to \infty} b_n = B$, то выполняются следующие свойства:

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю. Бесконечно большая последовательность — это последовательность, которая стремится к бесконечности.

Найти предел последовательности $a_n = \frac{2n+1}{n}$.

Решение:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n} = \lim_{n \to \infty} \left(2 + \frac{1}{n}\right) = 2$$

Найти предел последовательности $a_n = \sqrt{n^2 + 1} - n$.

Решение:

$$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 1} - n) = \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2 + 1 - n^2)}{\sqrt{n^2 + 1} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + 1} = 0$$

Это основное понятие математического анализа, характеризующее поведение последовательности при стремлении её членов к бесконечности.

Последовательность, у которой каждый следующий элемент либо всегда больше, либо всегда меньше предыдущего.

Последовательность, чьи элементы стремятся к нулю или бесконечности соответственно.

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, иначе расходящейся.