Числовые последовательности и их пределы

dlyachainikov.ru · Математический анализ

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$ , принимающая значения из множества действительных чисел $\mathbb{R}$ . Обозначается как $(a_n)$ , где $n$ — натуральное число, а $a_n$ — значение функции при данном $n$ .
$(a_n) = a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$

Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$ , что все её члены меньше или равны $M$ . Последовательность ограничена снизу, если существуют такие числа, что все её члены больше или равны этим числам. Если последовательность ограничена одновременно сверху и снизу, то она называется ограниченной.

Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности определяется следующим образом: предел последовательности $(a_n)$ равен числу $A$ , если для любого положительного числа $\varepsilon > 0$ можно найти такой номер $N$

Свойства пределов последовательностей

Если $\lim_{n \to \infty} a_n = A$ и $\lim_{n \to \infty} b_n = B$

Пример 1

Найти предел последовательности $a_n = \frac{2n+1}{n}$ .
$\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n} = \lim_{n \to \infty} \left(2 + \frac{1}{n}\right) = 2$

Пример 2

Найти предел последовательности $a_n = \sqrt{n^2 + 1} - n$

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел

\mathbb{N}

, принимающая значения из множества действительных чисел

\mathbb{R}

. Обозначается как

(a_n)

, где

n

— натуральное число, а

a_n

— значение функции при данном

n

(a_n) = a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots

Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число

M

, что все её члены меньше или равны

M

. Последовательность ограничена снизу, если существуют такие числа, что все её члены больше или равны этим числам. Если последовательность ограничена одновременно сверху и снизу, то она называется ограниченной.

Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности определяется следующим образом: предел последовательности

(a_n)

равен числу

A

, если для любого положительного числа

\varepsilon > 0

можно найти такой номер

N