- числовая последовательность
- Последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел, принимающая вещественные значения.
- предел последовательности
- Предел числовой последовательности — это число, к которому последовательность стремится при неограниченном возрастании её индекса.
- ограниченная последовательность
- Последовательность называется ограниченной, если существует такое число, что все её члены по модулю меньше этого числа.
- монотонная последовательность
- Последовательность называется монотонной, если её члены либо всегда возрастают, либо всегда убывают.
- сходящаяся последовательность
- Последовательность называется сходящейся, если её предел существует и конечен. Если предел не существует или бесконечен, последовательность расходится.
- точное определение предела последовательности
- Число a называется пределом последовательности $a_n$, если для любого положительного числа $\varepsilon$ существует такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство $|a_n - a| < \varepsilon$.
- бесконечно малая последовательность
- Последовательность $a_n$ называется бесконечно малой, если её предел равен нулю.
- бесконечно большая последовательность
- Последовательность $a_n$ называется бесконечно большой, если её предел равен бесконечности.
- свойства бесконечно малых последовательностей
- Если $a_n$ и $b_n$ — бесконечно малые последовательности, то их сумма, разность, произведение и частное (при $b_n \neq 0$) также являются бесконечно малыми.
- свойства бесконечно малых и ограниченных последовательностей
- Если $a_n$ — бесконечно малая последовательность, а $b_n$ — ограниченная последовательность, то их произведение также является бесконечно малой последовательностью.
- свойства бесконечно больших последовательностей
- Если $a_n$ и $b_n$ — бесконечно большие последовательности, то их сумма, разность, произведение и частное (при $b_n \neq 0$) также являются бесконечно большими. Если $a_n$ и $b_n$ бесконечно большие одного знака, то их частное стремится к нулю. Если знаки разные, частное стремится к бесконечности.
- свойства бесконечно больших и ограниченных последовательностей
- Если $a_n$ — бесконечно большая последовательность, а $b_n$ — ограниченная последовательность, то их частное стремится к нулю. Если $b_n$ бесконечно большая, то частное стремится к бесконечности. Если $a_n$ и $b_n$ бесконечно большие одного знака, частное стремится к единице. Если знаки разные, частное стремится к нулю.